今の仕事の契約終了間際で仕事が見つかりました。契約を解除するか、有給休暇を使うことはできる？

派遣契約をはじめとした期間の定めのある雇用契約では、原則的に「やむをえない事由」があるときを除いて、途中で契約を解除することはできません。
「次の仕事が決まったので契約を解除したい」というのは「やむをえない事由」にはあたらないということ、asukaさんが契約を途中解除することにより、派遣先と派遣元にはさまざまな業務負担が発生すること、場合により派遣元の信用問題にかかわることなどを考慮すると、即雇用解雇を申し出るのは難しいと考えた方が良いでしょう。

また残りの契約期間に有給休暇を使えるかどうかということについて、基本的に有給休暇は労働者の権利ですので発生している有給休暇を使うことは可能だと思います。
ただし、asukaさんが契約終了前に業務を外れてしまうということは派遣先も派遣会社も想定外のことで慌てられるかもしれません。なるべく業務に影響がでないよう協力する姿勢を示して話合われると良いと思います。

なお、次のお仕事のスタートを現在の派遣契約終了後に設定してもらうというのは難しいでしょうか？可能であれば、次の会社に「●月●日にいまの契約が終了するので、そこから働くことは可能ですか？」と、まずは確認してみることをお勧めいたします。

契約した仕事をやり遂げるというはビジネス上のルールでもありますし、asukaさん自身の信用にもかかわることだと思います。誠意をもって慎重に解決策をお考えになることをお勧め致します。