派遣で初回更新しないことはよくありますか？

よくあること、とは必ずしも言えませんが、契約上は3ヶ月ですので契約期間を満了して終了しても大丈夫です。

ただ、なっつさんも書いていらっしゃるように、長期で2～3年の見込みということも含めて、納得されてこの仕事を受けられたということですので、なっつさんが契約終了を希望されることに対して、派遣先も派遣会社も戸惑ってしまう可能性はあります。

契約更新をしない旨を派遣会社に伝える際に、どんな点が合わないのかということをしっかりと伝えると、派遣会社としても対応しやすくなると思います。

なっつさんが今後、より自分に合った仕事を選べるように「今回の仕事内容や環境のどんな点が自分に合わなかったのか」「どうだったら良かったのか」という点をぜひ整理してみてください！